【科普向】中国古代的十二律以及十二平均律
2019年07月30日 02:268685浏览 · 191点赞 · 35评论
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中国的好东西很多很多，可教育的偏科，让许多应该知道的东西，却让现今的人们不知道。
今天我在这个视频：
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下看到了这么一个评论：
中国传统乐器都是五声音阶，古代记谱叫宫商角徵羽，简谱是12356，自然音阶是1234567。
其实在B站的其他视频的弹幕里，也有人信誓旦旦的说，中国音乐就是五声音阶。
暂且不解释十二律的由来。这个逻辑就很奇妙，中国人用五声音阶，就等于中国人不用七声音阶了？就不用十二律了？
中国古人使用十二律，有个铁证，就是曾侯乙编钟。
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1986记录的曾侯乙编钟的声音，这是公元前433年的声音。用现在的音律理论来说，这一套编钟，共五个八度！
除此之外，提醒那些给人科普十二律的人。不要拿：
宫，商，羽，变徵，徵，角，变宫。来科普十二律。
可这没说清十二律！说这些用来做科普还不如不科普呢！
用现代现代音乐的解释，宫、商、羽、变徵、徵、角、变宫，叫『唱名』。
那音名呢？
现代乐理常用，C D E F G A B来表示这7个的音名，对应钢琴的7个白键。
然后剩余的五个用C# D# F# G# A#来解释剩余的半音，对应钢琴的黑键。
也可以用bB这种方式表达，bB等同于A#，具体看作曲者习惯习惯。
C C# D D# E F F# G G# A A# B，是西方完整表示十二律的表达。
找中国的十二律，找一本书就可以了。就是《史记》，史记里面明确记载了十二律的音名叫：
黄钟，大吕，太蔟，夹锺，姑洗，仲吕，蕤宾，林锺，夷则，南吕，无射，应锺。
看着是不是很亲切？因为有两个词，上过学的都知道：黄钟大吕。
古人把这十二律，分为六阳律，六阴律。奇数为阳律，偶数为阴律。即：
六阳律：黄钟，太蔟，姑洗，蕤宾，夷则，无射
六阴律：大吕，夹锺，仲吕，林锺，南吕，应锺
黄钟大吕作为成语使用的时候，字典上说：庄严、正大、高妙、和谐。
因为，能用黄钟、大吕来定音的。在古代基本都是礼器，不会轻易示人的。
《周礼·春官·大司乐》：“乃奏黄钟，歌大吕，舞云门，以祀天神。”
这里我实在想玩笑的吐槽一下，中国古人，为什么能发现这些东西。
我瞎猜了下，他们脑子和现代人差不多，他们也是数字『控』。毫无理由的就用一些特定的数字，比如『三』『四』『六』『十二』『二十』。看《周礼》《礼记》这类书，这些数字真的是层出不穷。
不过，也不得不承认一点如果想要做一个数字循环的话，『十二』这个数字是绕不过去的。
而中国常用的音律定义，有管仲的三分损益法，西方最早是毕达哥拉斯的五度相生法。有关五度相生法和三分损益法，李永乐老师有很详细的数学解释，这里不多做赘述了
可遗憾的是李永乐老师在视频里没有继续说中国的三分损益法的后续，只是简单说『少了两个音』，就直接说朱载堉的十二平均律了。
实际上中国的十二律并不是这样的，是继续算下去的。
《史记》记载了比较详细记录了一种方式：『生黄钟术』，其实就是三分损益法，只不过对数字说的更详细了一些：
生黄钟术曰：以下生者，倍其实，三其法。以上生者，四其实，三其法。上九，商八，羽七，角六，宫五，征九。置一而九三之以为法。实如法，得长一寸。凡得九寸，命曰“黄钟之宫”。故曰音始于宫，穷于角；数始于一，终于十，成于三；气始于冬至，周而复生。
《史记》不但给出了方法，还完全把答案写了出来。原文：
律数：九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为征。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。
黄钟长八寸七分一，宫。大吕长七寸五分三分。太蔟长七寸分二，角。夹钟长六寸分三分一。姑洗长六寸分四，羽。仲吕长五寸九分三分二，征。蕤宾长五寸六分三分。林钟长五寸分四，角。夷则长五寸三分二，商。南吕长四寸分八，征。无射长四寸四分三分二。应钟长四寸二分三分二，羽。
我相信，看到这里的人，真的十分头疼，会十分十分想念阿拉伯数字和分数写法。
另外请注意，其实沈括在《梦溪笔谈》就已经发现《史记》原文的问题。黄钟长八寸七分一应该是误抄导致的。七分应为十分。应该是黄钟长八寸十分一。
与毕达哥拉斯的五度相生法的基本区别在于。史记用了一个相对简单的方法做除法，并不是以一为基础0单位，是以81为基础单位算起的。所使用的长度为：八寸十分一。
五度相生法和三分损益法的更深层次区别，我在后面会详细阐述。
根据三分损益法，以黄钟为八寸十分一开头，把史记给出的答案文字整理排列顺序如下：
黄钟 八寸十分一
林钟 五寸十分四
太簇 七寸十分二
南吕 四寸十分八
姑洗 六寸十分四
这五个是整数，单独拿出来。
应钟 四寸二分三分二
蕤宾 五寸六分三分二
大吕 七寸五分三分二
夷则 五寸三分二
夹钟 六寸七分三分一
无射 四寸四分三分二
仲吕 五寸九分三分二
而这七个是分数。
那么算分损益法算出来的结果如何，懒得算了，直接照搬维基百科的：
这里造成一个问题，就是，清黄钟不是黄钟的一半的值：40.5。
这就是“黄钟不能还原”的问题。
三分损益法对比五度相生法的一个区别是最后的F的定义方式。
毕达哥拉斯他是用假定的高音C，也就是清黄钟的『理论值』反算回去的，
而且《史记》给出的数字，也不是根据三分损益法算出来的，值与计算有些误差。
那么有多大偏差呢？那么根据百度百科给出的数字，放一张对比图。也来自维基百科。
对比，三分损益法的计算值，史记的给出值，以及真实的十二平均律的值。
我用Excel做一个三分损益法和正确的十二平均律的比率总表：
我做这个图的另一个目的，也是要重点解释一下，我文章一开始说的，
如果不懂，就别瞎科普这个事情。
我们中国的七声音阶，其实和西方的有差别的。我们的『变徵』不是fa，而是升fa！
三分损益法定义的十二律对比五度相生法的方法来说，好处就是，哪怕不是十二平均律，一定程度转调也是没问题的。
说完了《史记》记载的三分损益法的完整内容后。
我一定要纠正一个李永乐老师在视频的一个概念上的错误。就是：
五度相生法和三分损益法。数学上感觉好像一个是三分之二、一个是四分之三。好像没问题，但实际上却有很大区别。
我们先来看看李永乐老师是怎么做的。
并且得出了结论：
李永乐老师一开始是这么做的，他先用do算出了so，然后用so反算re。
看上去好像没错，但他的这个做法，却是实实在在的三分损益法的方式，并不是五度相生法。
一个是三分之二，一个是四分之三这不没区别吗？
那究竟错在哪呢？其实区别就在这两个方法的名字上：
管仲的方法，叫三分损益法。并没有限定在什么『区间』内去计算音高！
计算方式为：损、益、损、益，这样交替自下而上来计算的。
我在上面也对三分损益法生成顺序进行了排序，计算顺序是：
C D A E B #F #C #G #D #A F
可毕达哥拉斯的方法名叫：五度相生法。
五度就是一个音程。如果仅仅是在八度内，这两个方法是没有区别的。
换句话说，毕达哥拉斯的方法一开始就考虑了一种情况就是。
要先算一个五度，然后再回头算一个五度，先自下而上算五个音，然后在自上而下算五个因。
所以李永乐老师一开始的理解就是有问题的。
那么五度相生法和三分损益法根本上区别就在这个假设，长度为2f0的高音Do上。
五度相生法，一开始算的是用长度为f0的C算出： G D A E B #F，
然后再用那个长度为2f0的C再向下算：F bB bE bA bD bG
以此类推。并不是视频里交替计算的方式，到最后去计算F。
注意最后一个音，这就是音乐要区分 #F和bG的原因，因为# F是向上算的，而bG是向下算的。使用毕达哥拉斯的五度相生法，就会造成，#F和bG完全不是一个音！
如果按照李永乐老师视频里的计算。
那#F，是729/512乘以f0，而bG是1024/729乘以f0。
而三分损益法只能计算出729/512乘以f0。也就是1.4238。
bD是：256/243乘以f0。但#C是复杂的：2187/2048乘以f0
那么再说说中国在十二平均律的研究。
可为什么人们要去追寻并使用十二平均律呢？不仅仅是方便转调这一问题。更纯粹就是一个感性的认识。
全世界的人们就是对这一特定的频率的声音感觉好听、和谐，不符合就是不舒服。所以才想办法追求十二律或者相近的十二平均律。这点东西方文明是差不多的，包括印度。
虽然印度的一些音乐和阿拉伯音乐听上去近似，使用乐器的音色也近似，音乐风格也近似。可就算普通人不太懂音乐，也能听得出印度音乐和阿拉伯音乐的区别。原因就是阿拉伯音乐不符合十二平均律，所以听上去有些怪。
在朱载堉之前，不止一个人想解决这个：『黄钟不能还原』的问题了。
可为什么要古人要探讨并解决这个问题？又不全是音乐家或者乐器制作者。
《千字文》估计有不少人会背，里面有一句：闰余成岁，律吕调阳。
律吕。就是十二律的另一个名字。
换句话说，制定历法并计算闰月的道路上，这些数学家发现，研究这个，也可以研究历法相关的一系列问题，比如节气问题、闰月的问题。还有日晷计时的问题，这些都与12有关。
南北朝时期，中国出现了几个超级数学牛人。何承天就是其中之一。
他想了一个办法，也是利用了研究历法的思路，再反哺回十二律上。
这个办法挺粗暴，可很有效。回头想想，他以及后面的祖冲之、包括朱载堉在对待一些问题上方法都挺粗暴。
古人把基本C称为『原黄钟』，高音C称为『清黄钟』。
何承天就想，这理论的清黄钟值与计算的清黄钟的值，不是差了这么多吗？那我就做减法，然后分十二份，再返回头修修补补一下不就解决了？再有差值，就继续分再修补。积分？嘿嘿嘿。
方法真的很暴力，却很有效。可惜的是，他记录这一方法的著作《立法制议》失传了。不过他的想法，被记录到了史书《隋书》上，并详细记录了他所得出的数字：
何承天《立法制议》云：“上下相生，三分损益其一，盖是古人简易之法。犹如古历周天三百六十五度四分之一，后人改制，皆不同焉。而京房不悟，谬为六十。”承天更设新率，则从中吕还得黄钟，十二旋宫，声韵无失。黄钟长九寸，太簇长八寸二厘，林钟长六寸一厘，应钟长四寸七分九厘强。其中吕上生所益之分，还得十七万七千一百四十七，复十二辰参之数。
隋书记载了，到何承天的时候，认为三分损益法太简单了。顺便还吐槽了西汉的京房算到六十的方式。不过京房还是做了深入的研究，方法挺笨，更凸显何承天有些厉害。
既然黄钟他用九寸，黄钟就记作900。那数列是：
何承天的数据得出的第一个比率为：1.060070671，
标准的比率，朱载堉算出的比率是1.059463094。
其实看何承天的思路非常非常好，他真的是个伟大的数学家。如果他能用的上更精确的数字，比如把黄钟放大尺寸，比如使用小数，他是一定能做出十二平均律的！这是公元400年，隋朝之前的南北朝时期。
何承天也很暴力的计算出圆周率为，111035/35329，据说他计算这个数字的方法『调日法』，给祖冲之之后算出355/133打下了基础。
其实《隋书·律历》记载了很多人对于音律定义的思路甚至感受。真的是纯感觉。
比如：
班固、司马彪《律志》："黄钟长九寸，声最浊；太簇长八寸；林钟长六寸；应钟长四寸七分四厘强，声最清。"
这也是何承天，把黄钟定义为九寸，而不是《史记》记载八寸十一的来源。九寸，纯粹就是声音不错。
除此之外《隋书》内，还记载了许多人，有关律吕的定义。现在看来，最具价值的何承天的方法，反而被一笔带过的忽视了。
何承天之后一直到朱载堉，其实包括沈括在内的数学家，都不如何承天的方法好。
再来稍微说一下朱载堉。李永乐老师的视频，较详细的描述了他给出的答案，
其他细节上的内容，随便就能搜的到的，很多人对他的研究有详细的描述。我就不过多赘述了。
我多提一点，朱载堉与何承天一样，他也在研究历法。
他写过《律历融通》一书。并写了《黄锺历》和《圣寿万年历》两部新历。
也很精确的算出了回归年的时间。
最后对十二平均律总结一下。
其实很多人都说朱载堉『发明』了十二平均律，这是完完全全不正确的叫法！
朱载堉只能叫修正并『发现』了一种正确规范十二平均律的方式。脱离了传统的三分损益法。
十二平均律，一直以来都是东西方音乐都在追求的一个东西，时间相当相当久远。并不是哪个国家的『独特发明』，只不过没有发现准确定义的方式。
就好比圆周率，很早东西方就发现了它，它的数值精确，人们计算圆的一系列值都会精确，但如何算精确它的数值，是一个逐步摸索的阶段。
十二平均律同样如此。自从毕达哥拉斯的五度相生法和管仲的三分损益法出现。他们所使用的二分之一、三分之二、四分之三，无不在指向一个数字：十二。
大家都在宣传朱载堉，增加国人的自信程度，不过何承天真的不应该被忽视。
其实说老实话，朱载堉做的十二平均律非常彻底。这么早而且这么彻底的平均划分，在数学上的价值非常高，毕竟在当时来看开12次方这种事情，真的太复杂了。
稍微数学的都都知道，这个1.059463094这个数字，真的是巨牛逼的数字！不过它在音乐上的价值并不高。
即便使用公元400年的何承天的工作成果，就足够足够当做十二平均律来演奏了。
他所的得出的数值并没有那么精确，可思路是正确的，方法也是可行的！同时期的其他人还在坚持只用三分损益法来计算，
如果把他的方法坚持暴力计算下去，得出比率再乘以440hz，误差真的会很稳定的在1Hz之内，真的很难听出区别来。
我用Excel计算得出数值。来展示何承天的数值与朱载堉数值的对比。
公元400年的数值就已经是能接受的范围了。
以及，为什么do是C而fa si是A和B。音乐的术语——多少度是什么。
现在的世界音乐，能真正使用这种近乎完美划分十二平均律的，几乎没有，毕竟音乐是个纯感性认识，音乐家调音，绝大多数都是靠耳朵，而不是靠定音器。
就连440Hz这个ISO规范的基础值，也不是所有音乐家都愿意使用。音乐界还有432Hz和440Hz之争。
虽然祖冲之著作的书籍《缀术》已经遗失了。只留下了355/113这个密律。但根据何承天的调日法，现在人基本可以看清祖冲之如何得出这个数字的思路。
何承天也是中国一代数学猛人，需要多宣传一下。
参考：
《周礼》《礼记》《史记》《隋书》
维基百科：十二律、十二平均律、何承天、朱载堉。
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